Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴，y轴分别交于点A、B，点C的坐标为（0，-2），若点D在直线AB上运动，点E在直线AC上运动，当以O、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形时，点D的坐标为（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）或（$\frac{28}{5}$，-$\frac{6}{5}$）．

Answer 1

分析 利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A、C的坐标利用待定系数法，即可求出直线AC的解析式，设点D的坐标为（m，-$\frac{3}{4}$m+3），点E的坐标为（n，$\frac{1}{2}$n-2），分四边形ODAE为平行四边形、四边形ODEA为平行四边形和四边形OADE为平行四边形三种情况，根据平行四边形的性质，找出关于m、n的二元一次方程组，通过解方程组即可得出点D的坐标．

解答 解：当y=-$\frac{3}{4}$x+3=0时，x=4，
∴点A的坐标为（4，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（4，0）、C（0，-2）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2．
设点D的坐标为（m，-$\frac{3}{4}$m+3），点E的坐标为（n，$\frac{1}{2}$n-2）．
当四边形ODAE为平行四边形时，$\left\{\begin{array}{l}{m=4-n}\\{-\frac{3}{4}m+3=0-（\frac{1}{2}n-2）}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{12}{5}}\\{n=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
∴点D的坐标为（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
当四边形ODEA为平行四边形时，$\left\{\begin{array}{l}{m=n-4}\\{-\frac{3}{4}m+3=\frac{1}{2}n-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{12}{5}}\\{n=\frac{32}{5}}\end{array}\right.$，
∴点D的坐标为（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
当四边形OADE为平行四边形时，$\left\{\begin{array}{l}{n=m-4}\\{-\frac{3}{4}m+3=\frac{1}{2}n-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{28}{5}}\\{n=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
∴点D的坐标为（$\frac{28}{5}$，-$\frac{6}{5}$）．
综上所述：当以O、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形时，点D的坐标为（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）或（$\frac{28}{5}$，-$\frac{6}{5}$）．
故答案为：（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）或（$\frac{28}{5}$，-$\frac{6}{5}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，分四边形ODAE为平行四边形、四边形ODEA为平行四边形和四边形OADE为平行四边形三种情况，找出关于m、n的二元一次方程组是解题的关键．