Question

如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于点O．
①若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上．（提示：连接AO）
②若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB．

Answer 1

分析：①连接AO．通过全等三角形的判定定理ASA证明△CEO≌△BDO，然后根据全等三角形的对应边相等知OC=OB；
②由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．

解答：解：①连接AO．
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CEB=∠BDO=90°；
又∵∠COE=∠BOD（对顶角相等），
∴∠C=∠B（等角的余角相等）；
∴在△CEO和△BDO中，

∠C=∠B OC=OB ∠COE=∠BOD

，
∴△CEO≌△BDO（ASA），
∴OE=OD（全等三角形的对应边相等），
∴点O在∠BAC的平分线上；

②证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OD=OE，
在△DOB和△EOC中，
∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC，
∴△DOB≌△EOC（ASA），
∴OB=OC．

点评：此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距离是垂线段的长．