A. | (0,1) | B. | ($\frac{1}{4}$,1) | C. | ($\frac{1}{4}$,+∞) | D. | (1,+∞) |
分析 首先判断出x=0是方程的一个实数解,所以$\frac{|x|}{x+4}$=kx2有三个不同的非零实数解;然后判断出g(x)=$\frac{1}{k}$=$\left\{\begin{array}{l}{x(x+4),x>0}\\{-x(x+4),x<0}\end{array}\right.$,根据其函数图象,要使$\frac{|x|}{x+4}$=kx2有三个不同的非零实数解,则0<$\frac{1}{k}<4$,据此求出k的取值范围即可.
解答 解:∵$\frac{|x|}{x+4}$=kx2,
∴x=0是方程的一个实数解,
又∵关于x的方程$\frac{|x|}{x+4}$=kx2有四个不同的实数解,
∴$\frac{|x|}{x+4}$=kx2有三个不同的非零实数解.
(1)当x>0时,
由$\frac{x}{x+4}={kx}^{2}$,
可得$\frac{1}{k}$=x(x+4);
(2)当x<0时,
由-$\frac{x}{x+4}={kx}^{2}$,
可得$\frac{1}{k}$=-x(x+4);
∴g(x)=$\frac{1}{k}$=$\left\{\begin{array}{l}{x(x+4),x>0}\\{-x(x+4),x<0}\end{array}\right.$
如图1,
要使$\frac{|x|}{x+4}$=kx2有三个不同的非零实数解,
则0<$\frac{1}{k}<4$,
∴k>$\frac{1}{4}$.
故选:C.
点评 此题主要考查了分式方程的解,要熟练掌握,注意数形结合方法的应用,解答此题的关键是判断出:g(x)=$\frac{1}{k}$=$\left\{\begin{array}{l}{x(x+4),x>0}\\{-x(x+4),x<0}\end{array}\right.$.
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