【题目】如图,矩形中,为的中点,将沿翻折得到,延长交于G,,垂足为H,连接,.以下结论:①;②;③;④;其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
根据矩形的性质、中点的定义、折叠的性质以及锐角的三角形函数的知识逐项判断即可.
解:∵矩形正方形ABCD中,AB=4,AD=6,E为AB的中点
∴AD= BC =6,AE=BE=2,∠A=∠C=∠ABC=90°
∵△ADE沿DE翻折得到△FDE
∴∠AED=∠FED,AD=FD=6,AE=EF=2,∠A=∠DFE=90°
∴BE=EF=2,∠DFG=∠C=90°
∴∠EBF=∠EFB
∴∠AED+∠FED=∠EBF+∠EFB
∴∠DEF=∠EFB
∴BF//ED,故①正确;
∵BF//ED
∴∠ABF=∠AED
∵∠ABF+∠FBH=90°,∠AED+∠ADE=90°
∴∠FBH=∠ADE
∴tan∠FBH ==tan∠ADE=
∴=
∴BH=3FH,故②正确;
③过点E作EM⊥BF垂足为M,易得△EMF∽△DFE
∴ ,可得FM=,即BF=
易得△BFH∽△DEF
∴, BH=3FH,可得FH=,BH=
设HG=x,FH⊥BC
∴△GFH∽△GEB
∴,即,解得:x=
∴BG=BH+HG=
∴
故③正确;
S△BFG=.
故④错误.综上共有3个正确.
故答案为C.
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【题目】已知,在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠ACB=∠EDF=90°,∠A=30°,∠E=45°,AB=EF=6,如图1,D是斜边AB的中点,将等腰Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<90°),在旋转过程中,直线DE,AC相交于点M,直线DF,BC相交于点N.
(1)如图1,当α=60°时,求证:DM=BN;
(2)在上述旋转过程中,的值是一个定值吗?请在图2中画出图形并加以证明;
(3)如图3,在上述旋转过程中,当点C落在斜边EF上时,求两个三角形重合部分四边形CMDN的面积.
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【题目】△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α(0°<α≤90°),点F,G,P分别是DE,BC,CD的中点,连接PF,PG.
(1)如图①,α=90°,点D在AB上,则∠FPG= °;
(2)如图②,α=60°,点D不在AB上,判断∠FPG的度数,并证明你的结论;
(3)连接FG,若AB=5,AD=2,固定△ABC,将△ADE绕点A旋转,当PF的长最大时,FG的长为 (用含α的式子表示).
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【题目】如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米.(i=1:是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)
(1)求点B距水平面AE的高度BH;
(2)求广告牌CD的高度.
(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:1.414,1.732)
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【题目】如图,已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=(x>0)的图象于点A、B,交x轴于点C.
(1)求m的取值范围;
(2)若点A的坐标是(2,-4),且=,求m的值和一次函数的解析式.
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【题目】如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处,点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,有下列结论:①∠EBG=45°;②S△ABG=S△FGH;③△DEF∽△ABG;④AG+DF=FG.其中正确的是_____.(把所有正确结论的序号都选上)
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【题目】平面内有一等腰直角三角板(∠ACB=90°)和一直线MN,过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F.当点E与点A重合时(如图①),易证:AF+BF=2CE;当三角板绕点A顺时针旋转至图②、图③的位置时,上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,请直接写出你的猜想,不需证明.
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【题目】在学校组织的数学竞赛中,八(1)班比赛成绩分为、、、四个等级,其中相应等级的得分依次记为100分,90分,80分,70分,学校将八(1)班成绩现整理并绘制成如下的统计图.请你根据以上提供的信息解答下列问题:
(1)请补全条形统计图
(2)八年级一班竞赛成绩众数是________,中位数落在________类.
(3)若该校有1500名学生,请估计该校本次竞赛成绩为类的学生人数.
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【题目】如图,已知△ABC 的顶点分别为 A(-2,2)、B(-4,5)、C(-5,1)和直线 m (直线 m 上各点的横坐标都为 1).
(1)作出△ABC 关于 轴对称的图形△A1B1C1,并写出点 A1 的坐标;
(2)作出点 C关于直线 m 对称的点C2 , 并写出点C2 的坐标;
(3)在轴上找一点P,使 PA+PC的值最小,请直接写出点P的坐标.
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