Question

如图，在平面直角坐标系中．正方形OABC的边长是4，点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，动点P从点A开始，以每秒2个单位长度的速度在线段AB上来回运动．动点Q从点B开始沿B→C→O的方向．以每秒1个单位长度的速度向点O运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点O时，P、Q两点间时停止运动．设运动时间为t．△OPQ的面积为S．
（I）当t=1时，S=

5

．
（2）当0≤t≤2时．求满足△BPQ的面积有最大值的P、Q两点坐标．
（3）在P，Q两点运动的过程中，是否存在某一时刻，使用S=6？若存在．请直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

分析：（1）△OPQ的面积=正方形的面积-△OAP的面积-△OCQ的面积-△BPQ的面积，依此列式计算即可求解；
（2）由题意得，当0≤t≤2时，PA=2t，PB=4-2t，BQ=t，CQ=4-t．根据三角形面积可得△BPQ的面积=-（t-1）²+1，
依此即可求解；
（3）分当0≤t≤2时，当2＜t≤4时，当4＜t＜8时，三种情况讨论可求符合条件的P点坐标．

解答：解：（1）当t=1时，AP=2，BQ=1，则BP=2，CQ=3，
△OPQ的面积=4×4-

1

2

×4×2-

1

2

×4×3-

1

2

×2×1=16-4-6-1=5；

（2）由题意得，当0≤t≤2时，PA=2t，PB=4-2t，BQ=t，CQ=4-t．
△BPQ的面积=

1

2

PB•BQ=

1

2

t（4-2t）=-t²+2t=-（t-1）²+1，
故当t=1时，△BPQ的面积的最大值是1．
此时，P（2，4）、Q（4，3）．

（3）当0≤t≤2时，PA=2t，PB=4-2t，BQ=t，CQ=4-t．
S=4×4-

1

2

×4×2t-

1

2

t（4-2t）-

1

2

×4（4-t）=6，
解得t₁=2-

2

，t₂=2+

2

（不合题意舍去），
P点坐标为（4-2

2

，4）；
当2＜t≤4时，OQ=4-t．
S=4×4-

1

2

×4×（8-2t）-

1

2

t（2t-4）-

1

2

×4（4-t）=6，
解得t₁=4-

2

，t₂=4+

2

（不合题意舍去），
P点坐标为（2

2

，4）；
当4＜t＜8时，OQ=8-t．
S=

1

2

×4（8-t）=6，
解得t=5，
P点坐标为（2，4）．
综上所述，P点坐标为（4-2

2

，4）；（2

2

，4）；（2，4）．
故答案为：5．

点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有：正方形的面积，三角形面积，二次函数的最值，分类思想的运用，（3）问的难度较大．