Question

（1）如图1，经历矩形性质的探索过程，你可以发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半．如在Rt△ABC中CD是斜边AB的中线，则CD=

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AB，你能用矩形的性质说明这个结论吗？
（2）利用上结论述解答下列问题：如图2所示，四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=90°，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系（提示：连接AE、CE）

Answer 1

分析：（1）过B作BE∥AC，AE∥BC相交于点E，构造成矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等证明即可；
（2）连接AE、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=CE=

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BD，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明．

解答：证明：（1）如图，过B作BE∥AC，AE∥BC相交于点E，
则四边形AEBC是矩形，
∵CD是Rt△ABC斜边AB的中线，延长CD必过点E，
∴AB=CE，
∴CD=DE=AD=BD，
∴CD=

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AB；

（2）EF⊥AC．
理由如下：连接AE、CE，
∵E是BD的中点，
∴AE=CE=

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BD，
∵F是AC的中点，
∴EF⊥AC（等腰三角形三线合一）．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，矩形的对角线互相平分且相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，作出辅助线构造成矩形是解题的关键．