Question

16．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点O，F为BC的中点，连接EF，DF，DE，则下列结论：①EF=DF；②AD•AC=AE•AB；③△DOE∽△COB；④若∠ABC=45°时，BE=$\sqrt{2}$FC．
其中正确的是①②③④（把所有正确结论的序号都选上）

Answer 1

分析 ①由EF和DF均是斜边BC边上的中线可迅速作出判断；
②由B、C、D、E四点共圆及割线定理迅速作出判断；
③由B、C、D、E四点共圆可得出对应圆周角相等，从而得出结论；
④若∠ABC=45°，则△BEC是等腰直角三角形，而F是BC中点，从而结论显然．

解答 解：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为BC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF=DF，故①正确；
∵∠BEC=∠BDC=90°，
∴B、C、D、E四点共圆，
由割线定理可知AD•AC=AE•AB，故②正确；
∵B、C、D、E四点共圆，
∴∠OED=∠OBC，∠ODE=∠OCB，
∴△DOE∽△COB，故③正确；
若∠ABC=45°，则△BEC为等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$BE，
∵F为BC中点，
∴FC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE，
∴BE=$\sqrt{2}$FC，故④正确；
故答案为：①②③④．

点评 本题主要考查了直角三角形斜边中线定理、四点共圆的判定与性质、割线定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，难度不大，属于常规题型．解答的关键是明确题目所给条件（比如中点，垂直）与所学几何定理的联系．