Question

15．如图，已知函数y=-$\frac{1}{2}$x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=-$\frac{1}{2}$x+b和y=x的图象于点C、D．
（1）求点M的坐标；
（2）求点A的坐标；
（3）若OB=CD，求a的值．

Answer 1

分析 （1）将x=2代入y=x中求出y值，由此即可得出点M的坐标；
（2）根据点M的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式，再将y=0代入一次函数解析式中求出x值，由此即可得出点A的坐标；
（3）将x=0代入一次函数解析式求出y值，由此即可得出点B的坐标，进而可得出CD=OB=3，再根据一次函数解析式上点的坐标特征即可得出点C、D的坐标，利用两点间的距离公式即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）∵点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，
∴y=x=2，
∴点M的坐标为（2，2）．
（2）把M（2，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x+b得：-1+b=2，
解得：b=3，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．
当y=-$\frac{1}{2}$x+3=0时，x=6，
∴A点坐标为（6，0）．
（3）当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x+3=3，
∴点B的坐标为（0，3），
∴OB=3．
∵CD=OB，
∴CD=3．
∵PC⊥x轴，
∴点C的坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a+3），点D的坐标为（a，a），
∴CD=a-（-$\frac{1}{2}$a+3）=3，
∴a=4．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及两点间的距离，解题的关键是：（1）将x=2代入y=x中求出y值；（2）根据点M的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据两点间的距离列出关于a的一元一次方程．