Question

设p为素数，k是正整数．求证：方程x²+px+kp-1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1．

Answer 1

充分性，若k=1，则方程有两个整数根，x₁=1，x₂=p-1；
必要性，设方程x²+px+kp-1=0有整数解x₁和另一根x₂，由根与系数的关系得：
x₁+x₂=-p，x₁x₂=kp-1．①
由①知x₂也是整数根，假设k＞1，
（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=（k-1）p，②
因为p为素数，k-1＞0，由②得：p/x₁+1，或p/x₂+1，
不妨设p/x₁+1，则有

x1+1=±mp x2+ 1=± k-1 m

其中m为正整数，且m整除k-1
由上式相加得：x₁+x₂+2=±（mp+

k-1

m

）．
由①得：-p+2=±（mp+

k-1

m

）③
若③中右边取正号，则有
（m+1）p+

k-1

m

=2，
显然，此式左边大于2，矛盾，若③中右边取负号，则有
（m-1）p+2+

k-1

m

=0
此式左边大于0，矛盾．
因此，k=1．