Question

16．如图，在正方形ABCD的外部作等边三角形△PDC，连结AP、BP，AP交CD于E，BP交CD于F
求证：（1）△APD≌△BPC；
（2）DE=CF．

Answer 1

分析 （1）由正方形和等边三角形的性质易证∠ADP=∠BCP=150°，又因为AD=BC，DP=CP，进而可证明△APD≌△BPC；
（2）由（1）可得∠DAE=∠CBF，又因为BC=AD，∠BCF=∠ADE=90°，所以可证明△BCF≌△ADE，进而可得DE=CF．

解答 证明：（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD=BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∵△DPC是等边三角形，
∴DP=DC=CP，∠PDC=∠PCD=∠DPC=60°，
∴∠ADP=∠BCP=150°，
在△APD和△BPC中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠ADP=∠BCP}\\{DP=CP}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△BPC（SAS）；
（2）∵△APD≌△BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ADE和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CBF}\\{AD=BC}\\{∠ADE=∠BCF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCF（AS），
∴DE=CF．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．