Question

14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°BC=2，将△ACB绕点C逆时针旋转60°得到△DCE（A和D，B和E分别是对应顶点），若AE∥BC，则△ADE的周长为1+$\sqrt{3}+$$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据旋转的性质得到∴CE=BC=2，AC=CD，∠BCE=∠ACD=60°，∠DCE=∠ACB=90°，推出△ACD是等边三角形，得到AD=AC，解直角三角形到底AE=$\frac{1}{2}$CE=1，AC=CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CE=$\sqrt{3}$，由勾股定理到底DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$，即可得到结论．

解答 解：∵将△ACB绕点C逆时针旋转60°得到△DCE，
∴CE=BC=2，AC=CD，∠BCE=∠ACD=60°，∠DCE=∠ACB=90°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=90°，∠AEC=∠BCE=60°，
∴AE=$\frac{1}{2}$CE=1，AC=CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CE=$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴△ADE的周长=AE+AC+CE=1+$\sqrt{3}+$$\sqrt{7}$，
故答案为：1+$\sqrt{3}+$$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．