Question

10．若非零自然数a，b的最大公约数与最小公倍数之和恰等于a，b的乘积，则（$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）¹⁰=（　　）

• A． 1
• B． 1024
• C． 2104
• D． 2016

Answer 1

分析 此题设这两个非零自然数a，b为mx，nx（其中m，n，x都是正整数，且m，n互质），然后根据题意可得mx•nx=mnx+x，再变形为x=1+$\frac{1}{mn}$，再根据x是正整数进行分析论证得出答案．

解答 解：设这两个非零自然数a，b为mx，nx（其中m，n，x都是正整数，且m，n互质），
所以mx•nx=mnx+x，
所以x=1+$\frac{1}{mn}$，
∵m，n，x都是正整数，且m，n互质，
∴m=n=1，
∴x=1+1=2，
∴a=b=2，
∴（$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）¹⁰=（$\frac{4×4}{4+4}$）¹⁰=2¹⁰=1024．
故选：B．

点评 此题主要考查了学生对最大公约数与最小公倍数之和的理解和掌握．要求学生能正确运用其解答问题．此题较难，是好题．