Question

【题目】如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B(2，0)，∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为.在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是OB．

（1）当点O与点A重合时，点P的坐标是 ；

（2）设P(t，0)，当OB与双曲线有交点时，t的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（1）（4，0）；（2）4≤t≤或≤t≤－4

【解析】

（1）当点O′与点A重合时，即点O与点A重合，进一步解直角三角形AOB，利用轴对称的现在解答即可；

（2）分别求出O′和B′在双曲线上时，P的坐标即可．

解：（1）当点O与点A重合时，

∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是OB．

AP′=OP′，

∴△AOP′是等边三角形，

∵B（2，0），

∴BO=BP′=2，

∴点P的坐标是（4，0），

（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，

∴∠MP′O=30°，

∴OM=t，OO′=t，

过O′作O′N⊥X轴于N，

∠OO′N=30°，

∴ON=t，NO′=t，

∴O′（t，t），

根据对称性可知点P在直线O′B′上，

设直线O′B′的解析式是y=kx+b，代入得，

解得：，

∴y=﹣x+t①，

∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，

∴OA=4，AB=2，

∴A（2，2）），代入反比例函数的解析式得：k=4，

∴y=②，

①②联立得，x2﹣tx+4=0，

即x2﹣tx+4=0③，

b2﹣4ac=t2﹣4×1×4≥0，

解得：t≥4，≤﹣4．

又O′B′=2，根据对称性得B′点横坐标是1+t，

当点B′为直线与双曲线的交点时，

由③得，（x﹣t）2﹣+4=0，

代入，得（1+t﹣t）2﹣+4=0，

解得t=±2，

而当线段O′B′与双曲线有交点时，

t≤2或t≥﹣2，

综上所述，t的取值范围是4≤t≤2或﹣2≤t≤﹣4．