Question

3．为满足市场需求，某超市在“端午”节前购进一种品牌粽子，每盒进价40元，超市规定每盒售价不得低于40元．根据以往销售经验，当售价定为每盒45元时，预计每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求每天的销售量（盒）与售价（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒定价为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）如果要保证超市每天的利润不少于6000元，又要尽量减少库存，超市每天最多可以销售出多少盒粽子？

Answer 1

分析 （1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．

解答 解：（1）由题意得，y=700-20（x-45）=-20x+1600；

（2）P=（x-40）（-20x+1600）=-20x²+2400x-64000=-20（x-60）²+8000，
∵x≥45，a=-20＜0，
∴当x=60时，P_最大值=8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；

（3）由题意，得-20（x-60）²+8000=6000，
解得x₁=50，x₂=70，
∵定价高于45元时，价格增加，销量减少，尽量减少库存，
∴定价为50元，
∴700-20（50-45）=600（盒），
答：要保证超市每天的利润不少于6000元，又要尽量减少库存，超市每天最多可以销售出600盒粽子．

点评 本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润=1盒粽子所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．