Question

14．如图，在平面直角坐标系内A（8，0），B（0，6），若直线L与AB平行，且在直线L上有且只有一点P使∠OPA=90°，求满足条件的直线L的解析式．

Answer 1

分析 先求得直线AB的解析式以及AB的长，再根据直线L与AB平行，且在直线L上有且只有一点P使∠OPA=90°，分两种情况进行讨论：直线L经过第一、二、四象限，直线L经过第而、三、四象限，分别根据相似三角形的性质，求得直线L与x轴的交点坐标，进而得出直线L的解析式．

解答 解：如图所示，以AO为直径作圆C，当直线L与与⊙C相切时，切点即为点P，连接CP，则CP⊥直线L，
此时∠OPA=90°，CO=CA=CP=4，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），B（0，6）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{0=8k+b}\\{6=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6，
由AO=8，BO=6，可得AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
分两种情况：
①若直线L经过第一、二、四象限，设直线L：y=-$\frac{3}{4}$x+m与x轴交于点D，则△AOB∽△DP₁C，
∴$\frac{OB}{AB}$=$\frac{{P}_{1}C}{DC}$，即$\frac{6}{10}$=$\frac{4}{CD}$，
解得CD=$\frac{20}{3}$，
∴OD=4+$\frac{20}{3}$=$\frac{32}{3}$，即D（$\frac{32}{3}$，0），
∴0=-$\frac{3}{4}$×$\frac{32}{3}$+m，
∴m=8，
∴直线L的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+8；
②若直线L经过第二、三、四象限，设直线L：y=-$\frac{3}{4}$x+n与x轴交于点E，则△AOB∽△EP₂C，
同理可得，CE=$\frac{20}{3}$，
∴OE=$\frac{20}{3}$-4=$\frac{8}{3}$，即E（-$\frac{8}{3}$，0），
∴0=-$\frac{3}{4}$×（-$\frac{8}{3}$）+n，
∴n=-2，
∴直线L的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x-2．
综上所述，直线L的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+8或y=-$\frac{3}{4}$x-2．

点评 本题主要考查了两条直线平行的问题、相似三角形的判定与性质、待定系数法求直线解析式以及勾股定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例列式计算．解题时注意分类思想的运用．解题时注意：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．