Question

7．如图，四边形中ABCD，AB∥CD，BC⊥AB，AD=CD=8cm，AB=12cm，动点M从A出发，沿线段AB作往返运动（A-B-A），速度为3（cm/s），动点N从C出发，沿着线段C-D-A运动，速度为2（cm/s），当N到达A点时，动点M、N运动同时停止．
（1）当t=5（s）时，则MN两点间距离等于3$\sqrt{7}$（cm）；
（2）当t为何值时，MN将四边形ABCD的面积分为相等的两个部分？
（3）若线段MN与AC的交点为P，探究是否存在t的值，使得AP：PC=1：2？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先过D作DE⊥AB，过N作NF⊥AB，根据NF∥DE，得出$\frac{NF}{DE}$=$\frac{AN}{AD}$=$\frac{AF}{AE}$，求得NF=3$\sqrt{3}$，AF=3，在Rt△MNF中，根据MN=$\sqrt{N{F}^{2}+F{M}^{2}}$进行计算即可；
（2）先求得梯形ABCD的面积=$\frac{（8+12）×4\sqrt{3}}{2}$=40$\sqrt{3}$，再分两种情况：①当0≤t≤4时，则BM=12-3t，CN=2t，②当4＜t≤8时，则AM=24-3t，AN=16-2t，分别根据MN将四边形ABCD的面积分为相等的两个部分，列方程求解即可；
（3）分两种情况讨论：①当0≤t≤4时，则AM=3t，CN=2t；②当4＜t≤8时，分别延长CD、MN交于点Q，则AM=24-3t，AN=16-2t，DN=2t-8．分别根据AB∥CD，列出比例式进行求解即可．

解答 解：（1）如图所示，当t=5（s）时，点N移动的路程为10，点M移动的路程为15，
∴点N在AD上，DN=10-8=2，点M在AB上，BM=15-12=3，
∴AN=6，AM=9，
过D作DE⊥AB，过N作NF⊥AB，则BE=CD=8，AE=12=8=4，

∴Rt△ADE中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵NF∥DE，
∴$\frac{NF}{DE}$=$\frac{AN}{AD}$=$\frac{AF}{AE}$，即$\frac{NF}{4\sqrt{3}}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{AF}{4}$，
∴NF=3$\sqrt{3}$，AF=3，
∴FM=9-3=6，
∴Rt△MNF中，MN=$\sqrt{N{F}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{63}$=3$\sqrt{7}$，
故答案为：3$\sqrt{7}$；

 （2）∵四边形中ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AD=CD=8cm，AB=12cm，
而BC=4$\sqrt{3}$，则梯形ABCD的面积=$\frac{（8+12）×4\sqrt{3}}{2}$=40$\sqrt{3}$．
①当0≤t≤4时，如图，则BM=12-3t，CN=2t，


∴梯形BCNM的面积=$\frac{1}{2}$（12-t）4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$（12-t），
∵MN将四边形ABCD的面积分为相等的两个部分，
∴2$\sqrt{3}$（12-t）=20$\sqrt{3}$，
∴t=2．      
②当4＜t≤8时，如图，则AM=24-3t，AN=16-2t，

∴△AMN的面积=$\frac{1}{2}$×（24-3t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（16-2t）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$（8-t）²，
∵MN将四边形ABCD的面积分为相等的两个部分，
∴$\frac{3\sqrt{3}}{2}$（8-t）²=20$\sqrt{3}$，
∴t=8±$\frac{2\sqrt{30}}{3}$，
又∵4＜t≤8，
∴t=8-$\frac{2\sqrt{30}}{3}$，
综上所述：或t=2或8-$\frac{2\sqrt{30}}{3}$． 

 （3）①当0≤t≤4时，如图，则AM=3t，CN=2t．

∵AB∥CD，
∴$\frac{AP}{PC}$=$\frac{AM}{CN}$=$\frac{3}{2}$≠$\frac{1}{2}$，
∴不存在符合条件的t值．
②当4＜t≤8时，如图，分别延长CD、MN交于点Q．

则AM=24-3t，AN=16-2t，DN=2t-8．
∵AB∥CD，
∴$\frac{QD}{AM}$=$\frac{DN}{AN}$，即$\frac{DQ}{24-3t}$=$\frac{2t-8}{16-2t}$，
解得DQ=3（t-4），
∴CQ=3t-4．
∵AB∥CD，
∴$\frac{AM}{CQ}$=$\frac{AP}{PC}$，即$\frac{24-3t}{3t-4}$=$\frac{1}{2}$，
解得t=$\frac{52}{9}$，
综上可知：存在实数t=$\frac{52}{9}$使得AP：PC=1：2成立．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了梯形的面积，勾股定理，平行线分线段成比例以及解一元二次方程的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用分类思想进行求解．