Question

如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4．
（1）求⊙A的半径；
（2）如果点F沿着圆周运动，点E保持不变，FE与CD边相交于点P，当∠FPD=72°时，求扇形EAF的面积．

Answer 1

分析：（1）△ABC为直角三角形，根据勾股定理和⊙A的半径找出一个等量关系，列方程求得⊙A的半径．
（2）根据矩形两对边平行可求出∠FEA的度数．而AF和AE都是⊙A的半径，又可求出∠AFE的度数．根据三角形的内角和是180°求出∠FAE的度数．然后用扇形的面积公式计算出扇形面积．

解答：解：（1）设⊙A的半径为x，则AD=AM=BC=x．
△ABC为直角三角形，根据勾股定理可得AB²+BC²=AC²．
∵AB=4，AC=AM+CM=2+x
∴4²+x²=（x+2）²
 解得：x=3，
即⊙A的半径为3；

（2）矩形ABCD中AB∥CD，所以∠FEA=∠FPD=72°，
 而AF和AE都是⊙A的半径，所以∠AFE=∠FEA=72°．
 根据三角形的内角和是180°求出∠FAE=180°-72°×2=36°，
 根据扇形的面积公式S=

nπR2

360

得到：
S=

36π×32

360

=

9

10

π．

点评：本题综合考查有关矩形、直角三角形和扇形的相关计算．用到了矩形两对边平行，勾股定理，三角形内角和是180°及扇形的面积公式．