Question

12．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME，求证：
①ME⊥BC；
②CM平分∠ACB；
③DE=DN．

Answer 1

分析 （1）两次运用同角的余角相等证明△AEB≌△AFC，得BE=CF；
（2）①过E作EH⊥AB于H，分别证明△BEH和△MEH是等腰直角三角形即可，
②根据HL证明Rt△ACM≌Rt△ECM，可以得出结论，或利用角平分线性质定理的逆定理证明更简单；
③证明△ADE≌△CDN，则DN=DE．

解答 证明：（1）∵AE⊥AF，
∴∠FAC+∠CAE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAE=90°，∠B+∠ACB=90°，
∴∠FAC=∠BAE，
∵FC⊥CE，
∴∠FCA+∠ACB=90°，
∴∠FCA=∠B，
∵AC=AB，
∴△AEB≌△AFC，
∴BE=CF；
（2）①过E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=EH，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC；
②∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵ME⊥BC，AD⊥BC，
∴ME∥AD，
∴∠MEA=∠DAE，
∴∠MEA=∠MAE，
∴AM=EM，
∵CM=CM，
∴Rt△ACM≌Rt△ECM，
∴∠ACM=∠ECM，
∴CM平分∠ACB；
③∵AE平分∠BAD，∠BAD=45°，
∴∠DAE=22.5°，
同理∠DCN=22.5°，
∴∠DAE=∠DCN，
∵∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=CD，
∵∠ADE=∠NDC=90°，
∴△ADE≌△CDN，
∴DN=DE．

点评 本题考查了三角形全等、等腰直角三角形的性质和判定，证明边和角相等时，一般就证明边和角所在的三角形全等即可，本题中有多个等腰直角三角形，利用45°角的和证明垂直的关系．