Question

如下图所示，二次函数图象的顶点坐标为C(2，－1)，二次函数的图象在x轴上截得的线段AB的长为2．

(1)求证：△ACB是等腰直角三角形；

(2)求二次函数的解析式；

(3)在抛物线上是否存在点P，使△PAC是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，不能求出时，请给出横纵坐标的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)过点C作CD⊥AB于点D，∵AB＝2，点C坐标为(2，－1)，由二次函数的对称性可知A，B两点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，故DA＝DB＝DC＝1，∴△ACB是等腰直角三角形． 　　(2)设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2－1，将(1，0)代入得a＝1，故y＝(x－2)2－1． 　　(3)在抛物线上存在四点P，使△PAC是等腰三角形．①当AC为腰时，点B即为其中一个所求的点P3(3，0)，∵AC＝，∴以点A为圆心，以为半径画圆弧，它与抛物线必有交点P1，从图形上可以看出P1(x0，y0)的坐标满足0＜x0＜1，1＜y0＜2．②当AC为底时，作AC的垂直平分线P2P4，与抛物线交于P2，P4两点，可得直线P2P4的解析式为y＝x－2．解直线与抛物线组成的方程组，可得P2(，)，P4(，)．

提示：

由抛物线的对称轴易证△ACB是等腰直角三角形．最后一问是开放性探索题，满足条件的P点有多个，可分AC为腰和AC为底两种情形进行求解．