Question

17．去年七八月份我市受到严重的酷热天气的影响，8月份我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如表：

周数x	1	2	3	4
价格y（元/千克）	2	2.2	2.4	2.6

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出8月份y与x 的函数关系式；
（2）进入9月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从9月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y=-$\frac{1}{20}$x²+bx+c，请求出9月份y与x的函数关系式；
（3）若8月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=$\frac{1}{4}$x+1.2，9月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=$-\frac{1}{5}$x+2．试问8月份与9月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？
（4）若9月份的第2周共销售100吨此种蔬菜．从9月份第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a%，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8a%．若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值．
（参考数据：37²=1369，38²=1444，39²=1521，40²=1600，41²=1681）

Answer 1

分析 （1）从表格看出，x每增加1，y就增加0.2，由此可确定是一次函数关系式，继而代入两点可得出解析式；
（2）把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分别代入y=-$\frac{1}{20}$x²+bx+c可求b、c的值，确定二次函数解析式；
（3）根据一次函数，二次函数的性质及自变量的取值范围，求最大利润；
（4）根据条件分别表示出第3周的供应量和第4周的销售价格，就可以表示第3周的销售总额，从而建立方程，求出其解即可

解答 解：（1）通过观察可见四月份周数y与x 的符合一次函数关系式，设这个关系式为：y=kx+b，
则 $\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{2k+b=2.2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=0.2}\\{b=1.8}\end{array}\right.$，
∴4月份y与x 的函数关系式为y=0.2x+1.8；
（2）将（1，2.8）（2，2.4）代入y=-$\frac{1}{20}$x²+bx+c．
可得：$\left\{\begin{array}{l}{2.8=-\frac{1}{20}+b+c}\\{2.4=-\frac{1}{5}+b+c}\end{array}\right.$解之：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{4}}\\{c=3.1}\end{array}\right.$
即y=-$\frac{1}{20}$x²-$\frac{1}{4}$x+3.1．
（3）8月份此种蔬菜利润可表示为：W₁=y-m=（0.2x+1.8）-（$\frac{1}{4}$x+1.2），即：W₁=-0.05x+0.6；
由函数解析式可知，8月份的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W=-0.05×1+0.6=0.55（元/千克），
9月份此种蔬菜利润可表示为：W₂=y-m=（-$\frac{1}{20}$x²-$\frac{1}{4}$x+3.1）-（-$\frac{1}{5}$x+2），
即：W₂=-$\frac{1}{20}$x²-$\frac{1}{20}$x+1.1
由函数解析式可知，9月份的利润随周数变化符合二次函数且对称轴为：x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{1}{2}$，
即在第1至4周的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W=-$\frac{1}{20}$-$\frac{1}{20}$+1.1=1（元/千克）．
∴8月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元，
9月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元．
（4）由题意，得
[100（1-a%）+2]×2.4（1+0.8a%）=2.4×100，
a²+23a-250=0，
∴a=$\frac{-23±\sqrt{1529}}{2}$．
∵39²=1521，
∴a=-31（舍去）或a=8，
∴a的整数值为8．

点评 本题考查了一次函数、二次函数解析式求法及二次函数的实际应用，解答本题的关键是求出两函数关系式，将实际问题转化为数学计算，有一定难度．