Question

某超市计划上两个新项目：
项目一：销售A种商品，所获得利润y（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：y=kx．当投资5万元时，可获得利润2万元；
项目二：销售B种商品，所获得利润y（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y=ax²+bx．当投资4万元时，可获得利润3.2万元；当投资2万元时，可获得利润2.4万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式和二次函数表达式；
（2）如果超市同时对A、B两种商品共投资12万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案获得的最大利润是多少？

Answer 1

分析：（1）首先利用已知条件和待定系数法可以分别求出正比例函数表达式和二次函数表达式；
（2）设投资B种商品x万元，则投资A种商品（12-x）万元，然后根据已知条件可以列出利润W关于x的二次函数，接着利用二次函数的性质即可求出获得最大利润的投资方案．

解答：解：（1）∵销售A种商品，所获得利润y（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：y=kx．
当投资5万元时，可获得利润2万元；
∴y_A=0.4x；
∵销售B种商品，所获得利润y（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y=ax²+bx．
当投资4万元时，可获得利润3.2万元；
当投资2万元时，可获得利润2.4万元．
∴

3.2=16a+4b 2.4=4a+2b

，
∴a=-0.2，b=1.6，
∴y_B=-0.2x²+1.6x；
（2）设投资B种商品x万元，
则投资A种商品（12-x）万元．
W=-0.2x²+1.6x+0.4（12-x）
=-0.2（x-3）²+6.6．
∴当x=3时，W取最大值，
∴投资A、B两种商品分别为9、3万元可获得最大利润6.6万元．

点评：此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是正确把握题目的数量关系，然后根据数量关系列出函数关系式，利用函数关系式即可解决问题．