Question

2．如图1，某杂技演员从蹦床A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=-2x²+8x+1的一部分．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）己知人梯高BC=4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是3.5米，问这次表演是否成功？请说明理由．
（3）如图2，为增加表演难度，人梯BC移到起跳点A的水平距离6米处，在OC之间增加一高度不低于1米的蹦床M，且与A的水平距离为m米（m≥3），并使演员到达蹦床M后再次弹跳沿着二次项系数始终为-1的抛物线F₂成功到达B点，设抛物线F₂的顶点离地面距离为h，求h的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=-2x²+8x+1，将函数解析式化为顶点式即可解答本题；
（2）将x=3.5代入y=-2x²+8x+1，求出相应的y的值，然后与4比较即可解答本题；
（3）根据题意可以设出抛物线F₂的函数解析式，然后根据题目中的条件可以求得m的取值范围，从而可以求得h的取值范围．

解答 解：（1）∵y=-2x²+8x+1=-2（x-2）²+9，
∴y=-2x²+8x+1的最大值是9，
即演员弹跳离地面的最大高度是9米；
（2）人梯高BC=4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是3.5米，这次表演不能成功，
理由：当x=3.5时，y=-2（3.5-2）²+9=4.5＞4，
∴人梯高BC=4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是3.5米，这次表演不能成功；
（3）设点M的坐标为（m，-2m²+8m+1），抛物线F₂的函数解析式为y=-（x-6）²+h，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2{m}^{2}+8m+1≥1}\\{-2{m}^{2}+8m+1＜9}\\{m≥3}\end{array}\right.$，
解得，3≤m≤4，
∵点M（m，-2m²+8m+1）在抛物线F₂的图象上，
∴-2m²+8m+1=-（m-6）²+h，
∴h=-（m+2）²+41，
∵3≤m≤4，
∴5≤h≤16，
即h的取值范围是5≤h≤16．

点评 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和不等式的性质解答．