Question

【题目】将一副三角板按如图所示的方式摆放，AD是等腰直角三角板ABC斜边BC上的高，另一块三角板DMN的直角顶点与点D重合，DM、DN分别交AB、AC于点E、F．

（1）请判别△DEF的形状．并证明你的结论；

（2）若BC＝4，求四边形AEDF的面积．

Answer 1

【答案】（1）△DEF是等腰直角三角形，理由见解析；（2）2

【解析】

（1）可得∠CAD＝∠B＝45°，根据同角的余角相等求出∠CDF＝∠ADE，然后利用“角边角”证明△ADE和△CDF全等，则结论得证；

（2）根据全等三角形的面积相等可得S△ADE＝S△CDF，从而求出S四边形AEDF＝S△ABD＝，可求出答案．

（1）解：△DEF是等腰直角三角形．证明如下：

∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，

∴∠EAD＝∠C，

∵∠MDN是直角，

∴∠ADF+∠ADE＝90°，

∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴DE＝DF，

又∵∠MDN＝90°，

∴∠EDF＝90°，

∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）∵△ADE≌△CDF，

∴S△ADE＝S△CDF，

∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC

∴AD=BD=BC，

∴S四边形AEDF＝S△ABD＝＝＝2．