【题目】将一副三角板按如图所示的方式摆放,AD是等腰直角三角板ABC斜边BC上的高,另一块三角板DMN的直角顶点与点D重合,DM、DN分别交AB、AC于点E、F.
(1)请判别△DEF的形状.并证明你的结论;
(2)若BC=4,求四边形AEDF的面积.
【答案】(1)△DEF是等腰直角三角形,理由见解析;(2)2
【解析】
(1)可得∠CAD=∠B=45°,根据同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE,然后利用“角边角”证明△ADE和△CDF全等,则结论得证;
(2)根据全等三角形的面积相等可得S△ADE=S△CDF,从而求出S四边形AEDF=S△ABD=,可求出答案.
(1)解:△DEF是等腰直角三角形.证明如下:
∵AD⊥BC,∠BAD=45°,
∴∠EAD=∠C,
∵∠MDN是直角,
∴∠ADF+∠ADE=90°,
∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°,
∴∠ADE=∠CDF,
在△ADE和△CDF中,
,
∴△ADE≌△CDF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠MDN=90°,
∴∠EDF=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形;
(2)∵△ADE≌△CDF,
∴S△ADE=S△CDF,
∵△ABC是等腰直角三角形,AD⊥BC
∴AD=BD=BC,
∴S四边形AEDF=S△ABD===2.
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【题目】如图所示,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A、B重合),另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.
(1)如图1,当点E在AB边得中点位置时:
①通过测量DE、EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是 .
②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是 ,请证明你的猜想.
(2)如图2,当点E在AB边上的任意位置时,猜想此时DE与EF有怎样的数量关系,并证明你的猜想.
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【题目】我市东湖高新技术开发区某科技公司,用480万元购得某种产品的生产技术后,并进一步投入资金1520万元购买生产设备,进行该产品的生产加工,已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现:该产品的销售单价不低于100元,但不超过200元.设销售单价为x(元),年销售量为y(万件),年获利为w(万元)该产品年销售量y(万件)与产品售价x(元)之间的函数关系如图所示.
(1)直接写出y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)求第一年的年获利w与x间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?并求当盈利最大或亏损最小时的产品售价;
(3)在(2)的条件下.即在盈利最大或亏损最小时,第二年公司重新确定产品售价,能否使两年共盈利不低于1370万元?若能,求出第二年的售价在什么范围内;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=2,则AB的长为_________.
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【题目】某中学为了解本校学生对球类运动的爱好情况,采用抽样的方法,从乒乓球、羽毛球、篮球和排球四个方面调查了若干名学生,在还没有绘制成功的“折线统计图”与“扇形统计图”中,请你根据已提供的部分信息解答下列问题.
(1)在这次调查活动中,一共调查了 名学生,并请补全统计图.
(2)“羽毛球”所在的扇形的圆心角是 度.
(3)若该校有学生1200名,估计爱好乒乓球运动的约有多少名学生?
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【题目】如图,已知⊙O的半径为1,AC是⊙O的直径,过点C作⊙O的切线BC,E是BC的中点,AB交⊙O于D点.
(1)直接写出ED和EC的数量关系:_________;
(2)DE是⊙O的切线吗?若是,给出证明;若不是,说明理由;
(3)填空:当BC=_______时,四边形AOED是平行四边形,同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是_______.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB,垂足为点F,与DC的延长线相交于点H,则△DEF的面积是_____
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【题目】为迎接“七·一”党的生日,某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动,租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满,已知每辆大客车的座位数比小客车多15个.
(1)求每辆大客车和小客车的座位数;
(2)经学校统计,实际参加活动人数增加了40人,学校决定调整租车方案,在保持租用车辆总数不变的情况下,为使所有参加活动的师生均有座位,最多租用小客车多少辆?
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