Question

20．如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，-1），并且与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D．
（1）若点D的横坐标为1，求A点、D点、C点的坐标；
（2）在第（1）小题的条件下，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；
（3）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点D在直线y=x+1上，点D的横坐标为为1即可求出点D坐标，用待定系数法求出直线y=kx+b即可求出A点、B点坐标．
（2）根据S_{四边形AOCD}=S_△AOD+S_△OCD即可求出．
（3）分B、D、P为顶点三种情形即可求出．

解答 解：（1）∵点D在直线y=x+1上，点D的横坐标为1，
∴D（1，2），
∵直线y=kx+b经过D（1，2），B（0，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴y=3x-1，
∴A（0，1），C（$\frac{1}{3}$，0），D（1，2）．
（2）S_{四边形AOCD}=S_△AOD+S_△OCD=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×2=$\frac{5}{6}$．
（3）∵BD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴①当B为顶点时，BP=BD时，P（0，$\sqrt{10}-1$）或（0，-1-$\sqrt{10}$），
②当D为顶点时，DP=DB，P（0，5），
③当P为顶点时，PD=PB，BD的中点为E（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
设过点E垂直BD的直线为y=-$\frac{1}{3}$x+b′点E代入得到b=$\frac{2}{3}$，
∴直线为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
∴点P为（0，$\frac{2}{3}$）．
综上所述点$P（0，5），（0，\sqrt{10}-1），（0，-\sqrt{10}-1），（0，\frac{2}{3}）$．

点评 本题考查一次函数的求法、坐标系中四边形面积的求法、等腰三角形等有关知识，学会用分割法求面积，求点P坐标时需要分类讨论，不能漏解．