Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．
（2）根据点F是BC的中点这一已知条件，可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题．
解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，
∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，（2分）
∴△CDF∽△BGF．（3分）

（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，
又∵F是BC的中点，BF=FC，
∴△CDF≌△BGF，
∴DF=GF，CD=BG，（6分）
∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，
∴E为AD中点，
∴EF是△DAG的中位线，
∴2EF=AG=AB+BG．
∴BG=2EF-AB=2×4-6=2，
∴CD=BG=2cm．（8分）
点评：本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定及线段的等量代换，比较复杂．