精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
(2006•吉林)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OEFG的顶点E坐标为(4,0),顶点G坐标为(0,2).将矩形OEFG绕点O逆时针旋转,使点F落在y轴的点N处,得到矩形OMNP,OM与GF交于点A.
(1)判断△OGA和△OMN是否相似,并说明理由;
(2)求过点A的反比例函数解析式;
(3)设(2)中的反比例函数图象交EF于点B,求直线AB的解析式;
(4)请探索:求出的反比例函数的图象,是否经过矩形OEFG的对称中心,并说明理由.

【答案】分析:(1)由已知,得∠OGA=∠M=90°,∠GOA=∠MON,易得△OGA∽△OMN.
(2)根据(1)的结论,可得AG的值,即A的坐标,设反比例函数y=,把A(1,2)代入,得k=2,即y=
(3)易得B的坐标,设y=mx+n,把A(1,2),B(4,)代入可得方程组,解可得mn的值,代入可得直线AB的解析式;
(4)设矩形OEFG的对称中心为Q,易得点Q坐标为(2,1),将其代入解析式,即可判断出答案.
解答:解:(1)△OGA∽△OMN.(1分)
由已知,得∠OGA=∠M=90°,∠GOA=∠MON,
∴△OGA∽△OMN.(2分)

(2)由(1)得
,AG=1,
∴A(1,2).(3分)
设反比例函数y=,把A(1,2)代入,得k=2,即y=.(4分)

(3)∵点B的横坐标为4,把x=4代入y=中得,y=,即B(4,).(5分)
设y=mx+n,把A(1,2),B(4,)代入,得解得
∴y=-x+.(8分)


(4)设矩形OEFG的对称中心为Q,则点Q坐标为(2,1).
把x=2代入y=,得y=1.
∴反比例函数的图象经过矩形OEFG的对称中心.(10分)
点评:综合考查三角形相似的判定,反比例函数直线关系式的求法,及中心对称的有关知识.此题综合性强,有一定的难度,有利于培养同学们勇于探索的良好学习习惯.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:2006年全国中考数学试题汇编《二次函数》(09)(解析版) 题型:解答题

(2006•吉林)如图,在平面直角坐标系xOy中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角,得到矩形CFED.设FC与AB交于点H,且A(0,4),C(6,0)(如图1).
(1)当α=60°时,△CBD的形状是______;
(2)当AH=HC时,求直线FC的解析式;
(3)当α=90°时,(如图2).请探究:经过点D,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形CFED的对称中心M,并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2006年全国中考数学试题汇编《二次函数》(05)(解析版) 题型:解答题

(2006•吉林)如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度AB=20米,顶点M距水面6米(即MO=6米),小孔顶点N距水面4.5米(即NC=4.5米).当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的直角坐标系,求此时大孔的水面宽度EF.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2006年吉林省中考数学试卷(课标卷)(解析版) 题型:解答题

(2006•吉林)如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度AB=20米,顶点M距水面6米(即MO=6米),小孔顶点N距水面4.5米(即NC=4.5米).当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的直角坐标系,求此时大孔的水面宽度EF.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2006年吉林省中考数学试卷(大纲卷)(解析版) 题型:解答题

(2006•吉林)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OEFG的顶点E坐标为(4,0),顶点G坐标为(0,2).将矩形OEFG绕点O逆时针旋转,使点F落在y轴的点N处,得到矩形OMNP,OM与GF交于点A.
(1)判断△OGA和△OMN是否相似,并说明理由;
(2)求过点A的反比例函数解析式;
(3)设(2)中的反比例函数图象交EF于点B,求直线AB的解析式;
(4)请探索:求出的反比例函数的图象,是否经过矩形OEFG的对称中心,并说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案