Question

3．如图，点A是射线OX上一点，OA=4，过A作AB⊥OX，且AB=2，连结OB，作∠XOY=∠ABO，过B任作一直线m，分别交射线AX，射线OY于C，D两点，设$\frac{BC}{CD}$=$\frac{1}{k}$
（1）当k=2时，求点D到射线OX的距离；
（2）请用含k的代数式表示△OCD的面积，并写出k的取值范围；
（3）若△OCD是等腰三角形时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）作DE⊥OX于E，判定△CAB∽△CED，得出$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{1}{2}$，进而得到DE=4，即点D到射线OX的距离为4；
（2）根据$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{DC}$，可得$\frac{2}{DE}$=$\frac{1}{k}$，进而得到DE=2k，再根据△CAB∽△CED，可得$\frac{CA}{CE}$=$\frac{BC}{CD}$，进而得到OC=$\frac{3k}{k-1}$，最后根据S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC×DE进行计算即可；
（3）分三种情况讨论：当OC=CD时，过C作CF⊥OY于F；当OD=CD时，OE=CE=$\frac{1}{2}$OC；当OC=OD时，$\frac{3k}{k-1}$=$\sqrt{5}$k，分别求得k的值即可．

解答 解：（1）作DE⊥OX于E，
∵AB⊥OX，DE⊥OX，
∴AB∥DE，
∴△CAB∽△CED，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=2，
∴DE=4，即点D到射线OX的距离为4；

（2）由（1）可得，$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{DC}$，
∴$\frac{2}{DE}$=$\frac{1}{k}$，
∴DE=2k，
∵$\frac{DE}{OE}$=tan∠XOY=tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴OE=$\frac{1}{2}$DE=k，
∴AE=4-k，
∵△CAB∽△CED，
∴$\frac{CA}{CE}$=$\frac{BC}{CD}$，
∴$\frac{CA}{CA+4-k}$=$\frac{1}{k}$，
∴CA=$\frac{4-k}{k-1}$，
∴OC=$\frac{4-k}{k-1}$+4=$\frac{3k}{k-1}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC×DE=$\frac{1}{2}$×$\frac{3k}{k-1}$×2k=$\frac{3{k}^{2}}{k-1}$（1＜k≤4）；

（3）①如图，当OC=CD时，过C作CF⊥OY于F，
则OF=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{k}^{2}+（2k）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$k，
∵$\frac{CF}{OF}$=tan∠XOY=2，
∴CF=$\sqrt{5}$k，
∵S_△OCD=$\frac{1}{2}$OD×CF，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$k×$\sqrt{5}$k=$\frac{3{k}^{2}}{k-1}$，
∴k=$\frac{11}{5}$；
②当OD=CD时，OE=CE=$\frac{1}{2}$OC，
∴k=$\frac{1}{2}$×$\frac{3k}{k-1}$，
∴k=$\frac{5}{2}$；
③当OC=OD时，$\frac{3k}{k-1}$=$\sqrt{5}$k，
∴k=$\frac{3}{5}\sqrt{5}$+1．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例进行求解．解题时注意分类思想的运用．