Question

7．综合与探究：如图，已知抛物线y=-x²+2x+3的图象与x轴交于点A，B（A在B的右侧），与y轴交于点C，对称轴与抛物线交于点D，与x轴交于点E．
（1）求点A，B，C，D的坐标；
（2）求出△ACD的外心坐标；
（3）将△BCE沿x轴的正方向每秒向右平移1个单位，当点E移动到点A时停止运动，若△BCE与△ADE重合部分的面积为S，运动时间为t（s），请直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数关系式分别让x=0及y=0可求出点A、B及点C坐标，通过配方法求得点D坐标；
（2）作DF⊥y轴，连接DC、AC，利用特殊角证出△ACD为直角三角形，则通过相似三角形对应边的比可得出外心的坐标；
（3）根据运动时间t，分成0＜t≤1、1＜t≤$\frac{3}{2}$、$\frac{3}{2}$＜t≤2三种情况进行讨论，利用直线解析式求出交点坐标，从而将面积分别表示出来．

解答 解：（1）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3
∴点A坐标为（3，0），点B坐标为（-1，0），
当x=0时，代入-x²+2x+3=0，y=3，
∴C点坐标为（0，3）
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D点的坐标为（1，4）
（2）过点D作DF⊥y轴，垂足为F，连接AC、CD，如图1

∵A（3，0），C（0，3），D（1，4）
∴DF=CF=1，OC=AC=3，
∴△DFC，△AOC均为等腰直角三角形；
∴∠DCF=∠ACO=45°，∴∠ACD=90°，△ACD为直角三角形；
∴斜边AD上中点为△ACD的重心，设点P为AD的中点，
过点P作PG⊥OA，垂足为G，
∵△APG∽△ADE，
∴点G为EA的中点，
∴OG=2，PG=2，
∴点P坐标为（2，2）；
（3）如图2，当0＜t≤1时，EE′=t  

设E′C′与DE交于点Q，根据△QEE′～△COB，求得QE=3t，
∴S=$\frac{1}{2}$QE•EE′=$\frac{1}{2}$×t×3t=$\frac{3}{2}$t²；
如图3，当1＜t≤$\frac{3}{2}$时，设当B′C′与DE交于点H，

根据△B′HE～△BOC，求得EH=3（2-t），
∵S=S_{△C′B′E′}-S_△HB′E，
∴S=$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×3（2-t）²
即S=-$\frac{3}{2}$t²+6t-3；
如图4，当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，

设直线B′C′与直线DE交点为T，与直线AD的交点为K，直线AD与直线E′C′的交点为L，
∵B′（t-1，0），C′（t，3），E′（t+1，0），
∴直线B′C′的解析式为：y=3x+（3-3t），
直线E′C′的解析式为：y=-3x+（3+3t），
∵直线AD的解析式为y=2x+6，
∵解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y=3x+（3-3t）}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+3t}{5}}\\{y=\frac{24-6t}{5}}\end{array}\right.$
∴K（$\frac{3+3t}{5}$，$\frac{24-6t}{5}$）
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y=-3x+（3+3t）}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3t-3}\\{y=-6t+12}\end{array}\right.$
∴L（3t-3，-6t+12），
又∵T（1，6-3t），
∴DT=4-（6-3t）=3t-2，AE′=3-（t+1）=2-t，△DKT以DT为底边上的高为：$\frac{3+3t}{5}$-1=$\frac{3t-2}{5}$，
S=S_△EAD-S_△DKT-S_△E′AL=4-$\frac{1}{2}$（3t-2）•$\frac{（3t-2）}{5}$-$\frac{1}{2}$（2-t）•（-6t+12），
即S=-$\frac{39}{10}$t²+$\frac{66t}{5}$-$\frac{42}{5}$；

∴当0＜t≤1时，S=$\frac{3}{2}$t²
当1＜t≤$\frac{3}{2}$时，S=-$\frac{3}{2}$t²+6t-3
当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，S=-$\frac{39}{10}$t²+$\frac{66t}{5}$-$\frac{42}{5}$

点评 本题考查了二次函数的性质、相似三角形的性质、重心的性质，（2）解题关键是明确直角三角形的重心位于斜边的中点，（3）要结合图象的变化，数形结合找到t的取值范围进行分类讨论．