Question

18．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，点E是线段AB上一点（不与A，B重合），作∠EDF交BC于点F，且∠EDF=60°，则△BEF周长的最小值是（　　）

• A． 6
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 4+$\sqrt{3}$
• D． 4+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 只要证明△DBE≌△DCF得出△DEF是等边三角形，因为△BEF的周长=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF，所以等边三角形△DEF的边长最小时，△BEF的周长最小，只要求出△DEF的边长最小值即可．

解答 解：连接BD，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△ADB与△CDB是等边三角形，
∴∠DBE=∠C=∠60°，BD=DC，
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE=∠CDF，
在△BDE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠C}\\{∠BDE=∠CDF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DCF，
∴DE=DF，∠BDE=∠CDF，BE=CF，
∴∠EDF=∠BDC=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∵△BEF的周长=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF，
∴等边三角形△DEF的边长最小时，△BEF的周长最小，
当DE⊥AB时，DE最小=2$\sqrt{3}$，
∴△BEF的周长最小值为4+2$\sqrt{3}$，
故选D．

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，所以中考常考题型．