Question

如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP．
（1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由；
（2）连接AQ交PC于点F，设k=

PF

PC

，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）若存在点E在⊙O上时，由已知，根据垂径定理知EC=CP，∠ECO=∠ACP=90°，由两直线平行，内错角相等知，∠E=∠P，由SAS知，△EOC≌△PAC，OC=CA，OE=AP则在Rt△APC中，由正弦的概念知sin∠APC=

AC

AP

=

AC

OA

=

AC

2AC

=

1

2

，由特殊角的三角函数值知∠APC=30°；
（2）由于P是⊙O右半圆上的任意一点，且AP∥OQ，由两直线平行，同位角相等知，∠PAC=∠QOB由BM是⊙O的切线，由切线的性质知，∠ABQ=90°，已知中有PC⊥AB，即∠ACP=∠ABQ=90°，∴△ACP∽△OBQ得到，

AC

OB

=

PC

QB

，又有∠CAF=∠BAQ，∠ACF=∠ABQ=90°，故由△ACF∽△ABQ可知

AC

AB

=

CF

BQ

，又因为AB=2OB，则

AC

2OB

=

CF

BQ

即

AC

OB

=

2CF

BQ

得到PC=2CF，即PF=CF，所以有k=

PF

PC

=

1

2

，即k值不随点P的移动而变化．

解答：解：（1）解法一：当点E在⊙O上时，设OQ与⊙O交于点D，
∵AB⊥PC，
∴

AE

=

AP

．
∵AP∥OQ，
∴∠APE=∠PEQ．
∴

AP

=

PD

．
又∠AOE=∠BOD，

AE

=

BD

，
即

AE

=

1

3

APB

，
∴∠APE=

1

2

×

1

3

∠AOB=

1

2

×

1

3

×180°=30°．

解法二：设点E在⊙O上时，由已知有EC=CP，
∴△EOC≌△PAC．
∴OC=CA，OE=AP．
在Rt△APC中，sin∠APC=

AC

AP

=

AC

OA

=

AC

2AC

=

1

2

，
∴∠APC=30°．

（2）k值不随点P的移动而变化．理由是：
∵P是⊙O右半圆上的任意一点，且AP∥OQ，
∴∠PAC=∠QOB．
∵BM是⊙O的切线，
∴∠ABQ=90°．
又∵PC⊥AB，
∴∠ACP=90°．
∴∠ACP=∠ABQ．
∴△ACP∽△OBQ．
∴

AC

OB

=

PC

QB

．
又∵∠CAF=∠BAQ，∠ACF=∠ABQ=90°，
∴△ACF∽△ABQ．
∴

AC

AB

=

CF

BQ

．
又∵AB=2OB，
∴

AC

2OB

=

CF

BQ

即

AC

OB

=

2CF

BQ

．
∴PC=2CF即PF=CF．
∴k=

PF

PC

=

1

2

．
即k值不随点P的移动而变化．

点评：本题利用了切线的性质，平行线的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，正弦的概念，特殊角的三角函数值求解．