Question

（2008•黔南州）如图，点D、E分别是等边三角形ABC的BC、AC边上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）BD²=AD•DF吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可得AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°，又由BD=CE，利用SAS，即可判定△ABD≌△BCE；
（2）由△ABD≌△BCE，可得∠BAD=∠CBE，又由∠BDF=∠ADB，即可判定△BDF∽△ADB，由相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°，…（2分）
在△ABD和△BCE，

AB=BC ∠ABD=∠C BD=CE

，
∴△ABD≌△BCE（SAS）（4分）

（2）BD²=AD•DF．
证明：∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，（1分）
又∵∠BDF=∠ADB，（2分）
∴△BDF∽△ADB，（4分）
∴

BD

DF

=

AD

DB

，
即BD²=AD•DF．（6分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角新的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．