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    课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=
    		3
    AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
    （1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=
    		3
    AC；（请你完成此证明）
    （2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）
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    分析：（1）如果：“∠B=∠D”，根据∠B与∠D互补，那么∠B=∠D=90°，又因为∠DAC=∠BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=
    		3
    2
    AC，那么AD+AB=
    		3
    AC．
    （2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．
    解答：证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B=∠D，
    ∴∠B=∠D=90°，
    ∠CAD=∠CAB=
    1
    2
    ∠DAB=30°，
    ∵在△ADC中，cos30°=
    AD
    AC
    ，
    在△ABC中，cos30°=
    AB
    AC
    ，
    ∴AB=
    		3
    2
    AC，AD=
    		3
    2
    AC    ．
    ∴AB+AD=
    		3
    AC    ．

    （2）由（1）知，AE+AF=
    		3
    AC，
    ∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，
    ∴CE=CF．
    而∠ABC与∠D互补，
    ∠ABC与∠CBE也互补，
    ∴∠D=∠CBE．
    ∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，
    ∠CEB=∠CFD
    ∠D=∠CBE
    CE=CF

    ∴Rt△CDF≌Rt△CBE．
    ∴DF=BE．
    ∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=
    		3
    AC．
    点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    22、阅读理解：
    课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
    如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
    小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
    感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
    （1）问题解决：
    受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
    ①求证：BE+CF＞EF；
    ②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
    （2）问题拓展：
    如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    31、课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
    （1）如图1，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
    小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
    [感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
    （2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
    求证：BE+CF＞EF，若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在课外兴趣小组活动时，刘老师给出了如下问题：
    如图（1），已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=
    		3
    AC．
    小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
    （1）从特殊情况入手，添加条件“∠B=∠D”，如图（2），可证：AB+AD=
    		3
    AC．请你完成此证明．
    （2）类比（1）的问题的解决方法，在图（1）证明AB+AD=
    		3
    AC．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    【阅读理解】
    课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

    如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：
    （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是
    B
    B
    ．
    A．SSS      B．SAS      C．AAS        D．HL
    （2）求得AD的取值范围是
    C
    C
    ．
    A．6＜AD＜8   B．6≤AD≤8  C．1＜AD＜7  D．1≤AD≤7
    【感悟】
    解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
    【问题解决】
    （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF． 求证：AC=BF．

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