Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=4，点E在AB边上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，则点E到CD的距离为

 

．

Answer 1

分析：首先由过点E作EF⊥CD于F，过点D作DH⊥BC于H，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，即可得四边形ABHD是矩形，又由CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，即可得AD=FD，BC=FC，即可求得CD的长，继而在Rt△DHC中求得DH的长，则可得点E到CD的距离．

解答：解：过点E作EF⊥CD于F，过点D作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°
∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，
∴AE=EF，BE=EF，
∴EF=AE=BE=

1

2

AB，
∴△ADE≌△FDE，△CEF≌△CEB，
∴DF=AD=2，CF=CB=4，
∴CD=6，
∵AB⊥BC，DH⊥BC，AD∥BC，
∴∠A=∠B=∠BHD=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴DH=AB，BH=AD=2，
∴CH=BC-BH=2，
在Rt△DHC中，DH=

CD2-CH2

=4

2

，
∴EF=2

2

．
∴点E到CD的距离为2

2

．
故答案为：2

2

．

点评：此题考查了梯形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．