【题目】类比转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.
(1)尝试探究
如图(1),在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E是BC边上一点,AE与BD交于点G,过点E作EF⊥AE交AC于点F,若=2,则的值是 ;
(2)拓展迁移
如图(2),在矩形ABCD中,过点B作BH⊥AC于点O,交AD相于点H,点E是BC边上一点,AE与BH相交于点G,过点E作EF⊥AE交AC于点F.
①若∠BAE=∠ACB,sin∠EAF=,求tan∠ACB;
②若,=b(a>0,b>0),求的值(用含a,b的代数式表示).
图(1) 图(2)
【答案】(1);(2)①;②
【解析】
(1)过E作EN⊥AC于N,EM⊥BD于M,由四边形ABCD是正方形,得到AC⊥BD,∠ACB=∠DBC=45°,于是得到四边形OMEN是矩形,△BEM与△CEN是等腰直角三角形,求得,然后根据△EMG∽△ENF,即可得到结论;
(2)①过E作EN⊥AC于N,EM⊥BD于M,根据四边形ABCD是矩形,
②过E作EN⊥AC于N,EM⊥BH于M,得到四边形OMEN是矩形,由△MEG∽△NEF,得到 由于△ABC∽△CNE,求出由于△BEM∽△BCO,得到 求出EM=aCN,即可得到结论.
(1)过E作EN⊥AC于N,EM⊥BD于M,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,∠ACB=∠DBC=45°,
∴四边形OMEN是矩形,△BEM与△CEN是等腰直角三角形,
∴
∵=2,∴,
∵EF⊥AE,
∴∠MEG=∠NEF,
∴△EMG∽△ENF,
∴
故答案为:;
(2) ①过E作EN⊥AC于N,EM⊥BD于M,
sin∠EAF=
设 则
∠BAE=∠ACB,
同理可得:
点G是AE的中点,
容易证明≌
②过E作EN⊥AC于N,EM⊥BH于M,
∵BH⊥AC,
∴四边形OMEN是矩形,
∴,∵AE⊥EF,
∴∠MEG=∠NEF,
∴△MEG∽△NEF,
∴
∵
∴△ABC∽△CNE,
∴
∴
∵EM⊥BH,AC⊥BH,
∴EM∥AC,
∴△BEM∽△BCO,
∴
∵
∴
∴
∵ON=EM,
∴
∴EM=aCN,
∴
故答案为:
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【题目】如图,点P是∠AOB内任意一点,∠AOB=30°,OP=8,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值为( )
A. 5B. 6C. 8D. 10
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【题目】如图,二次函数y=2x2+m的图像经过点(0,-4),正方形ABCD的顶点C,D在x轴上,点A,B恰好在二次函数的图像上,则图中阴影部分的面积之和为_______.
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【题目】(10分)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
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【题目】对于反比例函数,下列说法不正确的是( )
A. 当时, 随的增大而减小 B. 点在它的图象上
C. 它的图象在第一、三象限 D. 当时, 随的增大而增大
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【题目】如图(1)所示,在A,B两地间有一车站C,甲汽车从A地出发经C站匀速驶往B地,乙汽车从B地出发经C站匀速驶往A地,两车速度相同.如图(2)是两辆汽车行驶时离C站的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系的图象.
(1)填空:a= km,b= h,AB两地的距离为 km;
(2)求线段PM、MN所表示的y与x之间的函数表达式(自变量取值范围不用写);
(3)求行驶时间x满足什么条件时,甲、乙两车距离车站C的路程之和最小?
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【题目】温州市处于东南沿海,夏季经常遭受台风袭击.一次,温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处(如图),以每小时10千米的速度向东偏南30°的BC方向移动,并检测到台风中心在移动过程中,温州市A将受到影响,且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域.则影响温州市A的时间会持续多长?( )
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
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