Question

关于x的一元二次方程（k+1）x²+2x+1=0的实数解是x₁和x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x₁+x₂-x₁x₂=1-k，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可知，一元二次方程有两个实数根，故△≥0，且方程为一元二次方程，可知二次项系数不为0，据此解答即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=-，x₁x₂=，根据x₁+x₂-x₁x₂=1-k列出等式，解答即可．
解答：解：（1）△=2²-4×（k-1）×1=-4k，
∵方程有实数根，
∴△≥0，且k+1≠0，
解得，k≤0，
k的取值范围是k≤0，且k≠-1；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=-，x₁x₂=，
x₁+x₂-x₁x₂=1-k，
得 -=1-k，
解得k₁=2，k₂=-2，
经检验，k₁、k₂是原方程的解，
又由（1）k≤0，且k≠-1，
故k的值为-2．
点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．