Question

(本题满分12分)如图，直线AB分别x，y轴正半轴相交于A（a，0）和B(0,b)，直线交于y轴与点E，交AB于点F

（1）当a=6，b=6时，求四边形EOAF的面积
（2）若F为线段AB的中点，且AB=时，求证：∠BEF=∠BAO

Answer 1

（1）解：根据题意得：E(0,3)………………1分
∵A(6,0)，B（0,6）
求得直线AB的函数关系式是y=－x+6………………2分
直线EF 和直线AB交于点F，方程组的解是
∴F（2,4）……………………………………………………………………3分
=
=……………………………………………4分
（2）解：∵F为线段AB的中点，由三角形中位线定理得F（a, b）………………………………………5分
又 F在直线EF： 上，
∴×a＋3=b………………………………………………………………6分
a="2b-12" ………………………①
又∵AB=
∴a+b=()…… ……②  ……………………………………7分
∴(2b-12)+ b=80
整理得：5b-48b+64=0
解得b₁=,   b₂="8"
当b=时，a<0,不合题意∴b=（舍去） …………………………………8分
当b=8时，a=4
∴A（4,0）B(0,8)……………………………………………………………9分
∴OE="3, " BE=5
连接EA，在RT△OAE中，OE=3，OA=4，∴EA="5"
∴EA=BE=5
∴△BEA是等腰三角形……………………………………………………10分
又F为线段AB的中点
∴EF⊥AB …………………………………………………………………11分
∴∠BEF=90°－∠EBF
∠BAO=90°－∠OBA                                       
∠EBF=∠OBA
∴∠BEF=∠BAO ………………………………………………………12分                                                  

略