Question

如图，点A₁、A₂、A₃、…、A_n在抛物线y=x²图象点B₁、B₂、B₃、…、B_n在y轴上，若△A₁B₀B₁、△A₂B₁B₂、…、△A_nB_n-1B_n都为等腰直角三角形（点B₀是坐标原点），则△A₂₀₁₂B₂₀₁₁B₂₀₁₂的腰长=______．

Answer 1

作A₁C⊥y轴，A₂E⊥y轴，垂足分别为C、E．
∵△A₁BOB₁、△A₂B₁B₂都是等腰直角三角形
∴B₁C=B₀C=DB₀=A₁D，B₂E=B₁E
设A₁（a，b）∴a=b将其代入解析式y=x²得：
∴a=a²
解得：a=0（不符合题意）或a=1，由勾股定理得：A₁B₀=

2

，
∴B₁B₀=2，
过B₁作B₁N⊥A₂F，设点A（x₂，y₂）
可得A₂N=y₂-2，B₁N=x₂=y₂-2，
又点A₂在抛物线上，所以y₂=x₂²，
（x₂+2）=x₂²，
解得x₂=2，x₂=-1（不合题意舍去），
∴A₂B₁=2

2

，
同理可得：
A₃B₂=3

2

A₄B₃=4

2

…
∴A₂₀₁₂B₂₀₁₁=2012

2

∴△A₂₀₁₂B₂₀₁₁B₂₀₁₂的腰长为：2012

2

故答案为：2012

2

．