Question

如图，已知直线l₁的解析式为y=3x+6，直线l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l₂经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l₂从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1＜t＜10）．
（1）求直线l₂的解析式；
（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
（3）对于（2）中的△PCQ的面积S是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，求出当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（4）试探究：当t 为何值时，△PCQ为等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）因为l₁过点B，所以代入直线l₁的解析式求得点B的坐标，又因为直线l₂经过B，C两点，所以将点B、C的坐标代入直线y=kx+b，列方程组即可求得；
（2）过点P作PD⊥l₂于D，利用△PDC∽△BOC得到比例式即可求得S与t的取值范围．
（3）要想使△PCQ为等腰三角形，需满足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ．

解答：解：（1）由题意知：B（0，6）C（8，0）．
设直线l₂的解析式为y=kx+b，则

8k+b=0 b=6

解得k=-

3

4

，b=6．
故直线l₂的解析式为y=-

3

4

x+6．

（2）解法一 如图1，过点P作PD⊥l₂于D，则△PDC∽△BOC．
∴

PD

BO

=

PC

BC

．
由题意知：OA=2，OB=6，OC=8．
∴BC=

OB2+OC2

=10，PC=10-t．
∴

PD

6

=

10-t

10

．
∴PD=

3

5

（10-t）．
又∵CQ=t，
∴S=

1

2

•t•

3

5

（10-t）=-

3

10

t²+3t，（1＜t＜10）．
解法二 如图2，过点Q作QD⊥PC于D，则
△QDC∽△BOC

QD

BO

=

QC

BC

．
∴BC=

OB2+OC2

=10，QC=t．
∴

QD

6

=

t

10

．
∴QD=

3

5

t
又∵PC=10-t，
∴S=

1

2

•

3

5

t•（10-t）=-

3

10

t²+3t，（1＜t＜10）．
（3）由S=-

3

10

t²+3t=-

3

10

（t-5）²+

15

2

，
∵-

3

10

＜0，1＜t＜10，
∴当t=5时，S有最大值为

15

2

．
（4）i）由图2，若QP=QC，则PD=DC，
由

CQ

CB

=

CD

CO

，

t

10

=

10-t 2

8

，
∴t=

50

13

；  
ii）若CP=CQ，则t=10-t，
∴t=5； 
iii）若PC=PQ，过点P作PM⊥l₂于M，由△CPM∽△CBO．且CM=

t

2

，
由

CP

CB

=

CM

CO

，

10-t

10

=

t 2

8

，
∴t=

80

13

．

点评：此题考查了一次函数与三角形的综合知识，要注意待定系数法的应用，要注意数形结合思想的应用．