Question

如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．
（1）求证：EB=EF；
（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）由于△ADF为等边三角形，∠DAB=90°，∠EAD=15°可知FAE=∠BAE=75°，AB=AF，易证△FAE≌△BAE，即EF=EB．
（2）连接EC，由于△ADF为等边三角形，可知∠EFA=∠EFD=30度．由△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30度．∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，BE=BA=6．可知∠GEB=30°，由于∠ABC=60°，∠GBE=30°，GE=GB．
因为点G是BC的中点，所以EG=CG，即△CEG为等边三角形，故∠CEG=60°，∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°根据勾股定理可求出CE、BC的长．

解答：（1）证明：∵△ADF为等边三角形，
∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）
∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）
∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）
∵AE为公共边
∴△FAE≌△BAE（4分）
∴EF=EB（5分）

（2）解：如图，连接EC．（6分）
∵在等边三角形△ADF中，
∴FD=FA，
∵∠EAD=∠EDA=15°，
∴ED=EA，
∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）
由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．
∵∠FAE=∠BAE=75°，
∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，
∴BE=BA=6．
∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，
∴∠GEB=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠GBE=30°
∴GE=GB．（8分）
∵点G是BC的中点，
∴EG=CG
∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，
∴△CEG为等边三角形，
∴∠CEG=60°，
∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）
∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC²=CE²+BE²
∴CE=2

3

，
∴BC=4

3

（10分）；

解法二：过C作CQ⊥AB于Q，
∵CQ=AB=AD=6，
∵∠ABC=60°，
∴BC=6÷

3

2

=4

3

．

点评：本题比较复杂，考查面较广，涉及到等腰三角形，等边三角形，勾股定理需同学们熟练掌握．