Question

（2012•金平区模拟）如图所示，n+1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设△B₂D₁C₁的面积为S₁，△B₃D₂C₂的面积为S₂，…，△B_n+1D_nC_n的面积为S_n，则S₁=

1

4

，S_n=

n

2(n+1)

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：连接B₁、B₂、B₃、B₄、B₅点，显然它们共线且平行于AC₁，依题意可知△B₁C₁B₂是等腰直角三角形，知道△B₁B₂D₁与△C₁AD₁相似，求出相似比，根据三角形面积性质可得S_1S，同理：B₂B₃：AC₂=1：2，所以B₂D₂：D₂C2=1：2，所以S₂=

2

3

×

1

2

=

1

3

，同样的道理，即可求出S₃，S₄…S_n．

解答：解：∵n+1个边长为1的等腰三角形有一条边在同一直线上，
∴S_△AB1C1=

1

2

×1×1=

1

2

，
连接B₁、B₂、B₃、B₄、B₅点，显然它们共线且平行于AC₁
∵∠B₁C₁B₂=90°
∴A₁B₁∥B₂C₁
∴△B₁C₁B₂是等腰直角三角形，且边长=1，
∴△B₁B₂D₁∽△C₁AD₁，
∴B₁D₁：D₁C₁=1：1，
∴S₁=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
故答案为：

1

4

；
同理：B₂B₃：AC₂=1：2，
∴B₂D₂：D₂C₂=1：2，
∴S₂=

2

3

×

1

2

=

1

3

，
同理：B₃B₄：AC₃=1：3，
∴B₃D₃：D₃C₃=1：3，
∴S₃=

3

4

×

1

2

=

3

8

，
∴S₄=

4

5

×

1

2

=

2

5

，
…
∴S_n=

n

2(n+1)

故答案为：

n

2(n+1)

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的定义和性质、三角形的面公式等知识点、本题关键在于作好辅助线，得到相似三角形，求出相似比，就很容易得出答案了，意在提高同学们总结归纳的能力．