Question

20．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+5x-4的顶点为M，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）直接写出抛物线y=-x²+5x-4先关于x轴对称、再关于y轴对称的抛物线的表达式；
（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′、B′两点（点A′在点B′的右侧），与y轴交于点C′．在以A、B、C、M、A′、B′、C′、M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中所有不是菱形的平行四边形的面积．

Answer 1

分析 （1）由y=-x²+5x-4，令y=0，得出-x²+5x-4=0，解方程求出x的值，求出A、B的坐标；再令x=0，求出y的值，得到C的坐标；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征，求出y=-x²+5x-4关于原点对称的抛物线的表达式即可；
（3）首先根据平行四边形的判定得出以A、B、C、M、A′、B′、C′、M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选择出其中的菱形，然后根据平行四边形的面积公式计算其中所有不是菱形的平行四边形的面积．

解答 解：（1）∵y=-x²+5x-4，
∴当y=0时，-x²+5x-4=0，
解得x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0），B（4，0），
∵x=0时，y=-4，
∴C（0，-4）；

（2）抛物线y=-x²+5x-4先关于x轴对称、再关于y轴对称的抛物线的表达式为：
-y=-（-x）²+5（-x）-4，即y=x²+5x+4；

（3）如图，在以A、B、C、M、A′、B′、C′、M′这八个点中的四个点为顶点的四边形中，
平行四边形有：?ACA′C′，?AMA′M，?BCB′C′，?BMB′M′，?CMC′M′，
∵AA′⊥CC′，BB′⊥CC′，
∴?ACA′C′是菱形，?BCB′C′是菱形．
∵y=-x²+5x-4=-（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴M（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{4}$）．
S_?AMA'M′=2S_△A′AM=2×$\frac{1}{2}$×2×$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$，
S_?BMB'M'=2S_△B′BM=2×$\frac{1}{2}$×8×$\frac{9}{4}$=18，
S_?CMC′M′=2S_△C′CM=2×$\frac{1}{2}$×8×$\frac{5}{2}$=20．

点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定等知识，难度适中．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．