Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DE=AC-BE

【解析】试题分析：（1）利用等腰直角三角形，AC=BC,再利用AAS得到△ADC和△CEB全等， DE=DC+CE=AD+BE.

（2）利用等腰三角形得AC=BC,互余角性质得∠BCE=∠MAD,最后利用AAS得到△ADC和△CEB全等，DE=EC-CD=AD-BE．

试题解析：

证明：（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．
（2）DE=AD-BE，
理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．