精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
设p为素数,k是正整数.求证:方程x2+px+kp-1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1.
分析:运用根与系数的关系,得出p与方程根的关系,利用整除性得出方程x2+px+kp-1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1.
解答:解:充分性,若k=1,则方程有两个整数根,x1=1,x2=p-1;
必要性,设方程x2+px+kp-1=0有整数解x1和另一根x2,由根与系数的关系得:
x1+x2=-p,x1x2=kp-1.①
由①知x2也是整数根,假设k>1,
(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=(k-1)p,②
因为p为素数,k-1>0,由②得:p/x1+1,或p/x2+1,
不妨设p/x1+1,则有
x1+1=±mp
x2+ 1=±
k-1
m

其中m为正整数,且m整除k-1
由上式相加得:x1+x2+2=±(mp+
k-1
m
).
由①得:-p+2=±(mp+
k-1
m
)③
若③中右边取正号,则有
(m+1)p+
k-1
m
=2,
显然,此式左边大于2,矛盾,若③中右边取负号,则有
(m-1)p+2+
k-1
m
=0
此式左边大于0,矛盾.
因此,k=1.
点评:此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和素数以及方程整数根的性质,综合性较强.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

9、设n为不小于2的正整数,记n的所有正约数(包括1和n)的乘积为P(n),已知P(n)=n2,则n的最小值为
6

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

设p为素数,k是正整数.求证:方程x2+px+kp-1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

设p为素数,k是正整数.求证:方程x2+px+kp-1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2009年数学九年级奥林匹克初中训练(06)(解析版) 题型:解答题

设p为素数,k是正整数.求证:方程x2+px+kp-1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1.

查看答案和解析>>

同步练习册答案