Question

已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD．求证：点D在BE的垂直平分线上．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：先根据△ABC是等边三角形，BD⊥AC可知∠DBE=30°，∠ACB=60°，再根据CE=CD可知∠CDE=∠E，由三角形外角的性质可知∠ACB=∠E+∠CDE=60°，故∠E=30°，故可得出∠E=∠DBE=30°，故BD=DE，再根据等腰三角形的性质得出点D在BE的垂直平分线上．

解答：证明：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠DBE=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE=60°，
∴∠E=30°，
∴∠E=∠DBE=30°，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形，
∴点D在BE的垂直平分线上．

点评：本题考查的是等边三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出△BDE是等腰三角形是解答此题的关键．