Question

如图，△ABC中，点G是重心，三条中线AD=9，CF=12，BE=15，延长AD至H，使DG=DH，则△ABH的面积为________．

Answer 1

48
分析：根据三角形的重心的性质可知：GD=AD，CG=CF，BG=BE，又BD=DC，DG=DH，可证△BHD≌△CGD，从而BH=CG，在△BHG中，运用勾股定理的逆定理证明∠H=90°，再计算△ABH的面积．
解答：根据三角形的重心的性质可知：
GD=AD=3，CG=CF=8，BG=BE=10，
又BD=DC，∠BDH=∠CDG，DG=DH，
∴△BHD≌△CGD，即BH=CG=8，
在△BHG中，BH²+HG²=8²+6²=10²=BG²，
∴∠H=90°，
∴S_△ABH=×BH×AH=×8×（9+3）=48．
点评：本题考查了三角形重心的性质，直角三角形的判断方法，以及求三角形面积的问题．