Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，DF⊥AC于点F，CA的延长线交⊙O于点M，连接BM．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AC=3AM，求sin∠ABM的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠OBD=∠ODB，∠ABC=∠C，等量代换得到∠ODB=∠C，根据余角的性质即可得到结论；
（2）由AB是⊙O的直径，得到∠M=90°，根据已知条件即可得到结论．

解答 解：（1）连接OD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠C+∠FDC=90°，
∴∠ODB+∠FDC=90°，
∴∠ODF=90°，
∴DF为⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠M=90°，
∵AC=3AM，AC=AB=3AM，
∴sin∠ABM=$\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．