Question

如图，已知E为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形．以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB边相交于F点，延长CB交⊙B于G点．
求证：（1）AD是⊙B的切线；
（2）DE²=EF•CG．

Answer 1

【答案】分析：（1）如图1，连接BD，由DE⊥AB，E为AB的中点，所以，AD=BD，再根据正方形的性质，可得∠ADB=90°；
（2）如图2，连接DF、DG，可通过证明Rt△DEF∽Rt△GCD来解答；∠DFB==67.5°，∠GDC=∠GDB+∠BDC=67.5°，∠GDB==22.5°，即可得出结论；
解答：证明：（1）如图1，连接BD，
∵四边形BCDE是正方形∴∠DBA=45°，
∵DE⊥AB，E为AB的中点，∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠ADB=90°，
∴AD是⊙B的切线；

（2）如图2，连接DF，在△BDF中，∵BD=BF，
∴∠BFD=∠BDF，又∵∠DBF=45°，
∴∠BFD=∠BDF=67.5°，
连接DG，在△BDG中，∵BD=BG，
∴∠BDG=∠BGD，
又∵∠DBG=∠DBE+∠GBE=45°+90°=135°，
∴∠GDB=22.5°，
在Rt△DEF与Rt△GCD中∵∠GDC=∠GDB+∠BDC=67.5°=∠DFE，
∴Rt△DEF∽Rt△GCD，
∴，
又∵CD=DE，
∴DE²=EF•CG．
点评：本题考查了正方形的性质、相似三角形及切线的判定与性质的综合应用，应熟练掌握其判定、性质定理，考查了学生综合应用知识的能力．