Question

20．已知直线l₁：y=-$\frac{1}{2}$x-1分别与x、y轴交于点A、B．将直线l₁平移后过点C（4，0）得到直线l₂，l₂交直线AD于点E，交y轴于点F，且EA=EC．
（1）求直线l₂的解析式；
（2）若点P为x轴上任一点，是否存在点P，使△DEP的周长最小，若存在，求周长的最小值及点P的坐标；
（3）已知M为第二象限内直线l₂上任一点，过点M作MN平行于y轴，交直线l₁于点N，点H为直线AE上任一点．是否存在点M，使得△MNH是以H点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平移的性质和点C的坐标用待定系数法即可得出结论；
（2）先确定出点A，B坐标，进而得出点E坐标，即可确定出直线AE解析式，判断出点B，D关于x轴对称，连接BE和x轴的交点就是点P，利用两点间的距离即可得出周长的最小值；
（3）设出点M坐标，进而依次表示出点N，G，H的坐标，利用等腰直角三角形的性质即可求出m的值即可．

解答 解：（1）∵直线l₁平移后过点C（4，0）得到直线l₂，
∴设直线l₂解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，
∵点C（4，0）在直线l₂上，
∴0=-$\frac{1}{2}$×4+b，
∴b=2，
∴直线l₂解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
（2）如图，
∵直线l₁：y=-$\frac{1}{2}$x-1分别与x、y轴交于点A、B．
∴A（-2，0），B（0，-1），
∵C（4，0），
当x=$\frac{-2+4}{2}$=1时，y=-$\frac{1}{2}$×1+2=$\frac{3}{2}$，
∴E（1，$\frac{3}{2}$），
∵A（-2，0），
∴直线AE解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴D（0，1），
∴点B，D关于x轴对称，
∴连接BE与x轴的交点就是P，
∵B（-1，0），E（1，$\frac{3}{2}$），
∴直线BE的解析式为y=$\frac{5}{2}$x-1，
∴P（$\frac{2}{5}$，0），
∴△DEP的周长最小值=DE+BE=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$+$\sqrt{4+\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$+$\frac{5}{2}$=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，
（3）存在，
理由：如图1，过点H作HG⊥MN，
∴直线l₂解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴设M（m，-$\frac{1}{2}$m+2）（m＜0），
∵MN平行于y轴，交直线l₁于点N，
∴N（m，-$\frac{1}{2}$m-1），
∴MN=-$\frac{1}{2}$m+2-（-$\frac{1}{2}$m-1）=3，G（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），
∵点H在直线AE上，
∴H（-m-1，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），
∴HG=|-m-1-m|=|-2m-1|，
∵△MNH是以H点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴HG=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{3}{2}$，
∴|-2m-1|=$\frac{3}{2}$，
∴m=$\frac{1}{4}$（舍）或m=-$\frac{5}{4}$，
∴M（-$\frac{5}{4}$，$\frac{13}{8}$）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，最值的确定，等腰直角三角形的性质，用待定系数法确定直线解析式是解本题的关键，是一道中等难点的中考常考题．