Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，，将点C关于直线AB对称得到点D，作射线BD与CA的延长线交于点E，在CB的延长线上取点F，使得BF=DE，连接AF.

备用图

（1）依题意补全图形；

（2）求证：AF=AE；

（3）作BA的延长线与FD的延长线交于点P，写出一个∠ACB的值，使得AP=AF成立，并证明.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）∠ACB=54°.证明见解析.

【解析】

根据题意叙述画出图形即可.

(2)由对称可得，DB=BC，∠ABD=∠ABC，再由等量加等量仍是等量可得

BE=CF，易证△ABE ≌ △ACF（SAS），所以 AE=AF.

(3) ∠ACB=54°.由对称和(2)中已证的全等三角形推理可得.

（1）如图所示

2）证明：∵ 点C与点D关于直线AB对称，

∴ DB=BC，∠ABD=∠ABC.

∵ DE=BF，

∴ DE+BD=BF+BC.

∴ BE=CF.

∵ AB=AC，

∴ ∠ABC=∠C.

∴ ∠ABD=∠C.

∴ △ABE ≌ △ACF（SAS）.

∴ AE=AF.

（3）∠ACB=54°.

证明：如图，

∵ AB=AC，

∴ ∠ABC=∠ACB=54°.

∴ ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=72°.

∵ 点C与点D关于直线AB对称，

∴ ∠DAB=∠BAC=72°，∠ADB=∠C=54°，AD=AB=AC.

∴ ∠DAE=180°-∠DAB-∠BAC=36°，

∴ ∠E=∠ADB-∠DAE=18°.

∵ 由（2）得，△ABF ≌ △ADE（或者△ACF ≌ △ABE），

∴ ∠AFB=∠E=18°.

∴ ∠BAF=∠ABC-∠AFB=36°=∠BAD.

∵ AB=AD，

∴ AF垂直平分BD.

∴ FB=FD.

∴ ∠AFD=∠AFB=18°，

∴ ∠P=∠BAF-∠AFD=18°=∠AFD，

∴ AP=AF.

∵ 由（2）得AE=AF，

∴ AP=AE.