Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a（a≠0）顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”（不包含边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．

（1）求抛物线y=ax2-2ax-3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）如果抛物线y=ax2-3ax-3a经过（1，3）．

①求a的值；

②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数．

（3）如果抛物线y=ax2-2ax-3a在“G区域”内有4个整点，直接写出a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）顶点P的坐标为（1，-4a）．（2）①a=-．②“G区域”有6个整数点．（3）a的取值范围为-≤a＜-或＜a≤．

【解析】

（1）利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点P的坐标；
（2）将点（1，3）代入抛物线解析式中，即可求出a值，再分析当x=0、1、2时，在“G区域”内整数点的坐标，由此即可得出结论；
（3）分a＜0及a＞0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．

解：（1）∵y=ax2-2ax-3a=a（x+1）（x-3）=a（x-1）2-4a，

∴顶点P的坐标为（1，-4a）．

（2）∵抛物线y=a（x+1）（x-3）经过（1，3），

∴3=a（1+1）（1-3），

解得：a=-．

当y=-（x+1）（x-3）=0时，x1=-1，x2=3，

∴点A（-1，0），点B（3，0）．

当x=0时，y=-（x+1）（x-3）=，

∴（0，1）、（0，2）两个整数点在“G区域”；

当x=1时，y=-（x+1）（x-3）=3，

∴（1，1）、（1，2）两个整数点在“G区域”；

当x=2时，y=-（x+1）（x-3）=，

∴（2，1）、（2，2）两个整数点在“G区域”．

综上所述：此时“G区域”有6个整数点．

（3）当x=0时，y=a（x+1）（x-3）=-3a，

∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3a）．

当a＜0时，如图1所示，

此时有，

解得：-≤a＜-；

当a＞0时，如图2所示，

此时有，

解得：＜a≤．

综上所述，如果G区域中仅有4个整数点时，则a的取值范围为-≤a＜-或＜a≤．